“เซต” เป็นเรื่องพื้นฐานสำคัญในระดับชั้น ม.4 ม.5 และ ม.6 หรืออาจเจอในทุกระดับชั้น โดยในวันนี้ ALTV จะพาไปดูกันว่าสับเซต และเพาเวอร์เซตในวิชาคณิตศาสตร์หน้าตาจะเป็นอย่างไร พร้อมรวมสูตรทุกเซตมาให้ทุกคนท่องจำง่าย ๆ เพื่อเตรียมความพร้อมลุยทุกสนามสอบแข่งขัน

เซตคืออะไร❓

หากแทนค่าง่าย ๆ ว่าเซตนี้ คือ กล่อง A ใบหนึ่ง ที่มีลูกบอลสีน้ำเงิน 1 ลูก สีเขียว 1 ลูก และสีส้ม 1 ลูก ที่ด้านในกล่อง A โดยในทางคณิตศาสตร์มักจะไม่ค่อยวาดรูป ดังนั้น กล่อง A จะมีสัญลักษณแทนกล่องนั่นก็คือเครื่องหมาย { }

จึงเขียนได้ดังนี้ A = {ลูกบอลสีน้ำเงิน , ลูกบอลสีน้ำเขียว , ลูกบอลสีส้ม} ส่วนจำนวนสมาชิกเท่ากับ 3 ตัวนั่นเอง n(A) = 3
กรณี A ไม่มีลูกบอล เท่ากับว่า A ไม่มีสมาชิกใด ๆ อยู่เลย จึงเรียก A กล่องที่ไม่มีลูกบอลนี้ว่า “เซตว่าง” หรือ Ø
กรณี A มีลูกบอลหลายลูก มีไปเรื่อย ๆ ไปถึง 100 – 1,000,000 เลย รูปแบบการเขียนจะเป็น {ลูกบอลสีดำ 1 , ลูกบอลสีดำ 2 , ลูกบอลสีดำ 3 , ลูกบอลสีดำ 4 , ลูกบอลสีดำ 5 , ลูกบอลสีดำ 6 , …………} ไปเรื่อย ๆ แบบนี้เรียกว่า เซต “อนันต์” หรือที่เราเรียกว่า อินฟินิตี้ ∞

ชนิดของเซต

1.เซตจำกัด ตัวอย่างการเขียน A = {1,2,3,4,5,6}

2.เซตอนันต์ ตัวอย่างการเขียน A = {1,2,3,4,5,6,…………}

🎯ยกตัวอย่างโจทย์

ทริค ! เมื่อน้อง ๆ เจอโจทย์ ให้ลองตัดปีกกาออกก่อน หลังจากนั้นให้นับจำนวนสมาชิกที่มีอยู่

A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}

ดังนั้นจะเขียนได้ดังนี้ n(A) = 5

หรืออ่านได้ง่าย ๆ ว่า 1 , 2 , 3 , 4 , 5 เป็นสมาชิกของเซต A

B = {-4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 ,……}

เมื่อเห็นเซตที่มีเครื่องหมาย ... นั่นหมายความว่าเป็นเซตที่มีตัวเลขอีกหลายตัว จึงเรียกเซตนี้ว่าเซตอนันต์ ไม่สามารถนับจำนวนได้นั่นเอง

Z = { }

จำนวนสมาชิกของเซตนี้จึงเท่ากับ 0 ตัว หรือเรียกว่า เซตว่าง นั่นเอง

D = { {1} , {1,2} , {} }

ดังนั้นจะเขียนได้ว่า n(D) = 3 หรืออธิบายได้ว่า เซตของ {1} เป็นสมาชิกของ D เซตของ {1,2} เป็นสมาชิกของ D และ {} เป็นสมาชิกของ D

มัดรวมสูตรเรื่องเซต📝

A ∪ B = B∪ A การสลับที่
A ∩ B = B∩ A
A ∪ ∅ = A
A ∩ ∅ = ∅ เอกลักษณ์
A ∪ U = U
A ∩ U = A
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C การเปลี่ยนกลุ่ม
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) การกระจาย
A – (B ∩ C) = (A – B) ∩ (A – C)
A – (B ∪ C) = (A – B) ∪ (A – C)
(A’)’ = A
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ สมบัติของ Complement
A ∪ A’ = U
A ∩ A’ = ∅
A – B = A ∩ B’ = B’ – A’ Difference
A – B = B – A

สับเซต📝

คือ การเอาเซต ๆ หนึ่ง มาย่อยเป็นเซตเล็ก ๆ เรียกว่า “เซตย่อย” สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค A เป็นสับเซตของ B คือ A⊂B นั่นเอง และ เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนสัญลักษณ์ได้ A ⊄ B โดยมีสมบัติ ดังนี้

A ⊂ A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)
A ⊂ U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
Ø ⊂ A (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
ถ้า A ⊂ ø แล้ว A = ø
ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (สมบัติการถ่ายทอด)
A = B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A
ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2n สับเซต

🎯ยกตัวอย่างโจทย์

กำหนดให้ A = {2, 4, 6}, B = {x | x เป็นจำนวนคู่และ 1 < x < 7} และ C = {2, 4, 6, 8}

จาก A, B และ C ที่กำหนดให้ จะพบว่ามีเซต B เขียนในรูปแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก ดังนั้นเราต้องเปลี่ยนให้อยู่ในรูปการเขียนแบบแจกแจงสมาชิก จะได้ B = {2, 4, 6}

เมื่อนำเซต A เซต B และเซต C มาเปรียบเทียบกันจะพบว่า A ⊂ B , A ⊂ C, B ⊂ A แต่ C ⊄ A และ C ⊄ B

เพาเวอร์เซต📝

คือ เซตของสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P(A) ยกตัวอย่างช่น

A = {1,2} สับเซตของเซต A ประกอบด้วย Ø, {1}, {2}, {1,2} จะเห็นว่าจำนวนสับเซตของเซต A = 4 = 2²

ดังนั้น เพาเวอร์เซตของเซต A คือ P(A) = {Ø, {1}, {2}, {1,2}}

โดยมีสมบัติดังต่อไปนี้

∅ ∈ P ( A ) เพราะ ∅ ⊂ A เสมอ
∅ ⊂ P ( A ) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต แล้ว ก็เป็นเซตเช่นกัน
A ∈ P ( A ) เพราะ A ⊂ A เสมอ
ถ้า เป็นเซตจำกัด และ คือจำนวนสมาชิกของ แล้ว จะมีสมาชิก 2n ( A ) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ)
A ⊂ B ก็ต่อเมื่อ P(A) ⊂ P(B)
P ( A ) ∩ P ( B ) = P ( A ∩ B )
P ( A ) ∪ P ( B ) ⊂ P ( A ∪ B )

🎯ยกตัวอย่างโจทย์