image

Learn Small : วิชาคณิตศาสตร์ จำนวนนับ

23 ก.ย. 65 เวลา 10.10 น.
Share

“การนับเลข” เป็นทักษะแรกที่มนุษย์ทุกคนต้องเจอ หากมองย้อนกลับไปอดีต ไม่มีแม้แต่เครื่องมือที่จะเข้ามาช่วยในการนับจำนวนของสิ่งต่าง ๆ ได้เลย คนสมัยก่อนจึงใช้สิ่งของรอบตัวมาทดแทน อย่างเช่น การหยิบเอาก้อนกรวดมานับแทนจำนวนสิ่งของนั้น ๆ หรือแม้แต่การขีดเขียนผนังถ้ำ จนวิวัฒนาการกลายเป็นเลขอารบิกที่ใช้กันในปัจจุบัน

โดยการนับจำนวนสิ่งเหล่านั้น จึงถูกเรียกว่าเป็นเรื่องของ “จำนวนนับ” ในหลักวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน โดยจะเริ่มนับตั้งแต่ 1, 2, 3, 4, 5, ….. และเพิ่มขึ้นทีละ 1 ไปเรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งเราเรียกจำนวนนับนี้ว่า จำนวนธรรมชาติ หรือที่เราคุ้นหูกันว่า “จำนวนเต็มบวก” ซึ่งถูกแบ่งออกเป็น 2 ประเภท ได้แก่

  • จำนวนคู่ ที่หารด้วย 2 ลงตัว
  • จำนวนคี่ ที่หารด้วย 2 ไม่ลงตัว

ซึ่งคุณสมบัติของจำนวนนับ จะประกอบไปด้วยตัวละครต่าง ๆ มากมาย เริ่มจาก...

🔴ตัวประกอบ ซึ่งเป็นส่วนที่ใช้ในการสร้างตัวประกอบของการคูณที่มีมากกว่า 2 ตัวขึ้นไป

  • ยกตัวอย่างเช่น การแยกตัวประกอบของเลข 48 ที่เราสามารถแยกตัวเลขสองตัวคูณกันได้หลายวิธี



จะเห็นได้ว่ามีเลข 1 48 16 3 8 และ 6 ซึ่งเราเรียกเลขเหล่านี้ว่าเป็นตัวประกอบของ 48 นั่นเอง

Tip : ซึ่งถ้าสังเกตดี ๆ ก็จะเห็นว่ามีตัวประกอบของ 48 ที่เหลืออยู่อีก ได้แก่ 2, 4, 12 และ 24

🔴จำนวนเฉพาะ ซึ่งเปรียบเสมือนเป็นพระเอกของจำนวนนับ ที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวเลขเท่านั้น นั่นคือ 1 และตัวของมันเอง

  • ยกตัวอย่างเช่น การแยกตัวประกอบของเลข 47


ซึ่งจะเห็นว่าสุดท้ายแล้ว ไม่ว่าจะลองหาวิธีแยกตัวประกอบอย่างไร จะหาคำตอบได้แค่ 1x47 โดยสรุปได้ง่าย ๆ ว่า 47 เป็นตัวเลขที่มีสมบัติพิเศษ เพราะมันไม่มีตัวประกอบอย่างอื่น และไม่สามารถแยกตัวประกอบให้เป็นตัวที่เล็กลงได้

🧮 ทริก! การหาจำนวนเฉพาะแบบเร็ว ๆ

         มาดูกันว่าตัวเลข 1-100 จะสามารถหาจำนวนเฉพาะด้วยวิธีคิดแบบรวดเร็วได้อย่างไรบ้าง โดยคนแรกที่คิดหาคำตอบเหล่านี้ได้ มีชื่อว่า “เอราทอสเทนีส” นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เขาได้คิดค้นการวาดตารางเอราทอสเทนีสขึ้นมา

วิธีคิดขั้นตอนที่ 1 : นำ และหาว่าเลขอะไรที่นำมายกกำลัง 2 ได้ 100 นั่นก็คือ 10 โดยเราจะให้ความสนใจกับเลข 1-10

วิธีคิดขั้นตอนที่ 2 : ตัดตัวเลขในตารางที่หารด้วย 2 ลงตัว นั่นคือเลขคู่ทุกตัว

วิธีคิดขั้นตอนที่ 3 : สังเกตดูเลขตัวถัดไปนั่นก็คือ เลข 3 ว่าหารเลขใดได้บ้าง จากนั้นให้กากบาทตัวเลขที่หารลงตัวทิ้งไป โดยทำขั้นตอนเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ โดยตัวเลขสีชมพูที่เหลืออยู่ คือ จำนวนเฉพาะ

         โดยจำนวนนับทุกตัวสามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้แบบเดียวเท่านั้น ตามหลักทฤษฏีบทหลักมูลของเลขคณิต ซึ่งเป็นเครื่องมือสำคัญในการประยุกต์อีกหลายอย่างที่เราจะได้เรียนรู้ต่อไปนี้

📚ความลับสุดยอด กับเทคนิคในการตรวจสอบการหารลงตัว

         เป็นเทคนิคในการเช็กดูว่า ตัวเลขแต่ละตัวที่นำมาหารกับตัวเลขที่เราต้องการนั้น จะลงหรือไม่ ?

เริ่มจากตัวหารเลข 2 : ให้สังเกตดูว่าหลักหน่วยต้องลงท้ายด้วยเลขคู่

ตัวหารเลข 3 : นำเลขโดดทุกตัวมาบวกกัน อย่างเช่น 765 = 7+6+5 เท่ากับ 18 และนำ 3 มาหาร จะเท่ากับ 6 ซึ่งเป็นการหารที่ลงตัว

ตัวหารเลข 4 : สังเกตจากเลขโดดของ 2 หลักสุดท้าย ถ้า 4 หารลงตัว แสดงว่าเลขจำนวนทั้งหมดนั้นก็หารลงตัวเช่นกัน

ตัวหารเลข 5 : สังเกตง่าย ๆ จากจำนวนเลขต้องลงท้ายด้วย 5 หรือ 0 เท่านั้น

ตัวหารเลข 6 : สังเกตวิธีเดียวกับตัวหารเลข 3 แต่ต้องดูว่าหารด้วย 2 หรือ 3 ลงตัว

ตัวหารเลข 8 : สังเกตจาก 3 หลักสุดท้าย และต้องนำ 8 มาหารลงตัว

ตัวหารเลข 9 : นำเลขโดดทุกตัวมาบวกกัน และนำ 9 มาหารผลรวมของเลขโดดให้ลงตัว

         ต่อไปเป็นตัวละครที่สำคัญอีกหนึ่งตัวละคร คือ ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) และตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น)

ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของจำนวนนับสองจำนวน คือตัวหารร่วมที่ใหญ่ที่สุด โดยวิธีแยกตัวหารร่วมมากมีอยู่ด้วยกัน 2 วิธี ประกอบไปด้วย

1.การแยกตัวประกอบ ด้วยวิธีการตั้งหาร

  • ยกตัวอย่างที่ 1 360 162 ซึ่งสังเกตได้ว่าลงท้ายด้วยเลขคู่ เพราะฉนั้นทั้ง 2 เลข ก็จะหารด้วยเลข 2 ลงตัวนั่นเอง

  • ยกตัวอย่างที่ 2 (ตามหลักทฤษฏีบทหลักมูลของเลขคณิต) เช่น

 

 

และเมื่อถึงจุดสิ้นสุดที่ไม่สามารถหาตัวหาร หรือแยกตัวประกอบได้อีก เราจะได้ ห.ร.ม. ของเลข 360 และ 162 คือ 2x3x3 = 18

2.ขั้นตอนวิธีการหาร วิธีนี้มีความพิเศษตรงที่ว่า ทุกคนไม่จำเป็นต้องแยกตัวประกอบ แต่ใช้วิธีการนำจำนวนมาหารกันแทน ดังนี้

  1. นำจำนวนที่น้อยกว่าไปหารจำนวนที่มากกว่า
  2. นำเศษเหลือที่ได้ไปหารจำนวนที่น้อยกว่า
  3. นำเศษเหลือใหม่ไปหารเศษเหลือก่อนหน้า
  4. ทำซ้ำจนกระทั่งเกิดการหารลงตัว โดยเศษเหลือตัวสุดท้ายคือตัวการร่วมมากนั่นเอง
  • ยกตัวอย่างวิธีคิด

สรุปได้ว่า เศษเหลือตัวสุดท้ายคือ 18

ส่วน ✖️ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของจำนวนนับสองจำนวน เป็นตัวคูณร่วมที่เล็กที่สุด โดยสามารถทำได้แค่วิธีการแยกตัวประกอบแค่วิธีเดียว ซึ่งทำคล้าย ๆ เช่นเดียวกับ ห.ร.ม. นั่นเอง

  • ยกตัวอย่างที่ 1

 

เราไปดูตัวอย่างของการแยกตัวประกอบตามหลักทฤษฏีบทหลักมูลของเลขคณิตกันเลย

  • ยกตัวอย่างที่ 2 (ตามหลักทฤษฏีบทหลักมูลของเลขคณิต) เช่น

สรุปได้ว่า ค.ร.น. ของ 24 และ 150 คือ 2x3x4x25 หรือ โดยผลคูณทั้งหมด จึงเท่ากับ 600 นั่นเอง

👁‍🗨ข้อสังเกตเกี่ยวกับตัวหารร่วม และตัวคูณร่วม

  • เลข 1 เป็นตัวหารร่วมของจำนวนทุกคู่
  • ผลคูณของสองจำนวนที่กำหนดเป็นตัวคูณร่วมเสมอ
  • ตัวหารร่วมมาก หารด้วย ตัวหารร่วมทุกตัวลงตัว
  • ตัวคูณร่วมทุกตัว หารด้วย ตัวคูณร่วมน้อยลงตัว
  • ตัวหารร่วมมากของจำนวนเฉพาะเท่ากับ 1 เสมอ
  • ตัวหารร่วมมาก x ตัวคูณร่วมน้อย จะเท่ากับ ผลคูณของสองจำนวน
  • สามารถหาตัวหารร่วมมาก และตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนมากกว่า 2 จำนวนได้ด้วยการแยกตัวประกอบ

นอกจากนี้ น้อง ๆ สามารถเรียนรู้เพิ่มเติมในวิชาคณิตศาสตร์ได้อีกมากมาย เพื่อใช้ในสอบเข้าครั้งต่อไปได้ทางรายการห้องเรียนติวเข้ม << คลิกเลย